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1. 第 7 章 FIR 数字滤波器设计 7.1 FIR DF 设计的窗函数方法 7.2 窗函数 7.3 FIR DF 设计的频率采样方法 7.4 FIR DF 设计的切比雪夫最佳均匀逼近法 7.5 滤波器的几种简单形式 7.6 简单整数系数滤波器 7.7 微分Filter IIR数字滤波器：有极点和零点，因此可以借用经典的连续滤波器设计方法，达到很好的效果结果，例如良好的衰减特性和准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器只有零点而没有极点，因此无法借用连续滤波器的设计方法。其思想是直接从频域出发，即以一定的准则逼近理想的频率特性，并保证滤波器具有线性相位。 7.1 傅立叶级数法（窗函数法） 1、从理想频率响应中得到理想频率响应
2.; 2. 获得因果且有限长度的单位抽样响应； 3. 通过添加窗口获得更好的频率响应。理想频率响应一、思想和方法： 1、思想和方法：假设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：则： 特点：无限长非因果偶对称解：截断， shift Retention表示隐式使用窗函数，所以： 注意：是因果关系，并且是Linear Phase，即提前给定一个线性相位来保存每个shift，可以是： passband：所以：使用矩形窗口的表达和设计思想可以推广到高通、带阻和带通滤波器，也可以推广到其他特殊类型的滤波器。事实上，给定一个滤波器，只要能积分，通过截断和移位就可以得到具有线性相位的因果FIR滤波器。高通：设：相当于截止频率为的低通滤波
3. 滤波器（实际上是全通滤波器）减去截止频率为 的低通滤波器。设： 相当于用截止频率为at的低通滤波器减去截止频率为at的低通滤波器。 Bandpass：设：窗函数，自然截断为矩形窗。当然，也可以使用其他形式的窗口函数。相当于带阻： 例1. 设计一个低通FIR DF，设归一化截止频率为0.125、M10、20、40，并使用矩形窗口将其缩短。结果如右图所示，连接上一个例子：M10分别使用矩形窗和汉明窗。使用汉明窗后，阻带衰减变得更好，但过渡带变宽。示例： 理想微分器及其设计顺序： 理想微分器的频率特性： 理想微分器的频率特性： 奇对称、纯虚函数 理想相频特性 2 型 FIR 滤波器 实际相频特性 与各种微分器性能有关，这个本章继续讨论幅频：1 矩
4.形状窗2汉明窗示例：设计希尔伯特转换器类型2 FIR滤波器思考：可以使用上一章的方法来设计微分器和希尔伯特转换器吗？优点：1、没有稳定性问题； 2、容易实现线性相位； 3、可设计各种特殊类型的过滤器； 4、方法特别简单。缺点：1、边缘频率不易控制； 2、幅频性能不理想； 3. 较长； 2. FIR DF 设计的窗函数方法的特点： 改进： 1. 使用其他类型的窗函数； 2、改进设计方法。 3、截断误差曲线误差能量的讨论请自行推导该公式在什么情况下最小。因此，有限项傅立叶级数是原始信号在最小二乘意义上的近似。傅里叶级数是一种正交变换，也体现了正交变换的性质。窗函数法周期信号展开为傅里叶级数 傅里叶系数 傅里叶级数
5. 同一事物使用不同的名称 7.2 窗函数 窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、谱、自相关函数等都需要被截断。窗函数有什么要求？关键是要了解使用窗口函数的影响：一个域中的乘法和另一域中的卷积。矩形窗窗函数的技术要求： 1.3 dB带宽：主瓣归一化幅度下降到3 dB时的带宽；或者直接使用它。规则的单位是； 2、旁瓣最大峰值（dB） 3、旁瓣频谱峰值衰减速度（dB/oct） 越小越好！越小越好！越大越好！常用窗函数： 1.矩形窗 2.三角窗 Bartlett窗 3.汉宁窗 Hanning 4.汉明窗 汉明窗函数 窗函数 7.3 FIR DF设计的频率采样方法 窗函数法：给定一个连续理想，
6. 使用带有线性相位的因果FIR DF近似来离散化直接赋值计算，更容易思考：相等？滤波器的设计目的是指定：如何指定传递函数、频率响应之间的关系以及给定的：使用DFT系数作为权重函数来表示设计关系的原始采样-重采样关系有什么特点？使用插值方法得到想要的滤波器：插值函数权重线性相位应该是实数，所以：如何指定为偶数：指定为奇数：其他赋值方法见书本。当然，应在阻带内指定零。另外，为了获得良好的幅频响应，可在1和0之间添加一个过渡点，如0.5。 7.4 使用切比雪夫最佳一致逼近设计 FIR DF 7.4.1 最佳一致逼近定理 7.4.2 使用最佳一致逼近理论设计 FIR DF 7.4.3 关于误差函数的极值特性 7.4.4 FIR
7. DF 的四种表示方法 7.4.5 设计实例 7.4.6 滤波器阶数估计 上述两种方法（窗函数法和频率采样法）设计的 FIR DF 的频率响应并不理想，即通带不足够平坦。 ，阻带衰减不够大，过渡带太宽，无法准确指定频率边缘。所以我们需要寻找新的设计方法。该方法是切比雪夫最好的一致逼近方法。该方法在数字信号处理中占有重要地位，是设计FIR DF最理想的方法。不过这种方法的原理稍微复杂一些。给定一个理想的设计，使得 是“最佳”近似值。 1. 最小二乘近似：专注于最小化积分区间内的整体误差。傅里叶级数方法就是这样的一种方法。函数逼近的方法： 目标： 2.插值法：求阶多项式，使其满足 3.满足：点频率采样
8、方法三、最佳一致近似：搜索使误差在区间内更加均匀一致，并最小化误差的最大值。切比雪夫的最佳一致逼近理论解决了存在性、唯一性和构造方法问题。将最佳一致逼近理论应用于FIR DF的设计是数学与信号处理理论相结合的又一个典型例子。该方法可以设计出性能优良的FIR DF，是FIR设计的主要方法。该方法也称为McClellan-Parks 方法1。切比雪夫最佳一致逼近定理。在阶多项式集合中，找到一个使其相对于所有其他多项式对的偏差最小化的多项式：最小-最大原理。交错点群原理： 令： 误差最大误差曲线成为最佳一致逼近的充分必要条件是： 上至少有交点使得： 极值点与该点相交，故： 极值点与极值点相交，故：
9. 值点，它们形成“交错点组”。什么样的函数（或多项式）可以作为误差曲线 切比雪夫多项式： 区间-1,1上有点：轮流取极值1,1。它是一个阶多项式，最高项系数是，在所有阶多项式的集合中，与0的偏差最小。因此，它可以用作误差多项式。 ：一个极值点交错点群定理要求：一个极值点 2.使用最佳一致逼近理论设计FIR DF理想滤波器。四种情况下所要设计的滤波器的“滤波器增益”是实函数，有四种表示形式。一是：线性相位FIR滤波器有四种形式：我们使用近似理想滤波器。显然，如果能找到，过滤器就会被设计出来。使用对目标的一致近似来最小化误差曲线寻求的最大值并呈现交错的外观。定义权重函数： in
10.设计滤波器时，通常对通带和阻带有不同的要求。如果通带特别平坦，则需要牺牲阻带；相反，如果阻带衰减特别大，则需要牺牲通带。实现方法：赋予不同的权重。交错点群定理要求离散化：注意频率被分成离散点。点在通带和阻带内，不考虑过渡带。目标是获得极值点。将Remez算法写成矩阵形式的方阵，McClellan.JH&Parks.TW在20世纪70年代初提出在数值分析中使用Remez算法，通过迭代求解最优系数和。从而达到滤波器设计的目的。该方法不仅可以用于设计低通、高通、带通、带阻等经典滤波器，还可以用于设计微分滤波器和希尔伯特变换器。不仅能给出良好的幅频特性和线性相位，而且
11.并且可以更准确地确定边缘频率。数字信号处理领域最著名的算法之一！步骤1.首先，在通带和阻带频率轴上等间隔取M2个频率点并计算。它是相对于第一个指定的交错点组产生的误差A。计算出来后，在不知不觉中用插值公式计算出来。 B. 当然，你第一次找到的肯定不是最优的！将得到的结果代入C中，即可得到误差函数。如果第一次迭代是最优的，那么它应该是极值点。当然，一次迭代是不够的。第一次迭代完成！步骤2。检查是否有频点（必须有）。将发生这种情况的频点与原来指定的频点中距离最近的点进行交换（注：这样的频点可能不止一个）。这样就得到了一组新的频点。当然，它们不再是原始频率范围的等分。步骤3。将要
12、对新的频点组重复步骤2，即可得到一组新的交错点组： 代入公式A，找到新的，然后代入公式求新的B，代入公式再次使用公式找到新的 C。 重复 重复步骤 1，如此迭代。每次将新的局部极值点视为新的交点组。因此，每次都是增量的，最终收敛到其上限。如果再次迭代，就不再增加，频点组也不再移动。此时，它是该对的最佳一致近似。步骤4。将最佳滤波器与线性相位配对，并执行傅里叶逆变换以获得设计滤波器的值。通带内峰值偏差的最佳一致近似是在通带和阻带内进行的，并且不考虑过渡带。迭代步长为阻带峰值偏差； 3.关于误差函数的极值特性（参见书籍） 4.FIR DF的四种表示形式 将上述四种形式稍加变换，得到如下统一形式
13.公式，目的是方便编程： 例1：设计低通FIR DF：调整通带和阻带的权重以及滤波器的长度。设计结果 5.设计实例 参数调整对滤波器性能的影响： 实例2：设计一个采样频率为500Hz、陷波频率为50Hz、100Hz、150Hz的多频段滤波器。通带权重为8，阻带为1-17dB。通带和阻带权重均为 1-25dB。 6.阶数估计 在设计滤波器之前，滤波器的长度（即阶数）是未知的。显然，要求是：通带越平坦，阻带衰减越大，过渡带越窄，滤波器的阶数越高。 ：通带纹波：阻带纹波经验公式 另一种估计公式：估计阶数稍低。例如，对于例1的第一种情况： find：与原来给出的一样 7.5 几种简单形式 滤波器一、平均滤波器二、平滑滤波器三、梳状滤波器这一类滤波器
14.性能不是很好kaiyun全站网页版登录，但是过滤器很简单，有时很实用，有的还有一些特殊用途。信噪比（SNR）和降噪比（NRR） 信噪比：观察信号信号噪声。为了减少噪音，将通过滤波器。降噪比（NRR）：越小越好！可以证明： 1、可以计算出平均滤波器点平均器IIR系统：可见，如果N足够大，就可以获得足够小的NRR。但如果N太大，滤波器会产生过大的延迟：群延迟=(N1)/2，并且会大大减少其主瓣一侧的带宽，这可能使有用信号s(n )也遭受损失。因此，在平均器中，N不宜设得太大。 2.平滑滤波器SavitzkyGolay smoother：基于多项式拟合方法，具体求导
15. 流程请参阅教材。 5 点二阶（抛物线）拟合： 7 点三阶拟合：NRR 和 N 阶之间的折衷。 MATLAB 文件：sgolay.m 3. 梳状滤波器功能：消除周期性噪声，或增强周期性信号分量。 7.6 用基于零极点抵消的简单整数系数滤波器对信号进行实时滤波时，有时对滤波器的性能要求不是很高，但要求计算速度，同时滤波器设计也应简单易行实施。 ，因此滤波器的系数预计为整数。当用汇编语言编写程序时，这是特别需要的。使用零极点抵消方法，可以设计具有简单整数系数的低通、高通、带通和带阻滤波器。 1、在低通单位圆上均匀分布M个零点设置一个极点，并在z=1处偏移零点。 M点平均器2.设置一个极点，M个零点均匀分布在高通单位圆上，偏移量z=
16、上面提到的低通和高通滤波器在零点1处的系数都是整数系数（系数1/N最后可以单独处理）。如果认为幅频响应不理想，滤波器系数仍然可以是整数 3. 带通实际应用是保证分母是整数，这就要求是整数。因此：当需要整数系数时，对于带通滤波器来说，其通带的中心频率是有限的。 4、带阻设计方法 幅频：全通幅频 带通幅频 相频：配置相频实例，设计一个50Hz陷波滤波器，中心频率范围在解中：取结果，所以加一对共轭极点：现在需要150Hz 确定M：同相 7.7 低阶低通微分滤波器 理想微分器： 理想微分器： 为了防止噪声在高频端被放大，取：低通微分器： 微分器的一般形式： 微分器的采样响应： 因此，微分器是奇对称的。现在的任务是确定系数的两点中心差：“最佳”差值
17、器件逼近误差：得到最佳系数，得到最佳通带。最佳通带： 可求：M2 可求：M3。 M2和3时“最佳”微分器的幅频特性为： 但是，上述“最佳”微分器的系数都是小数，我们想要得到整数系数。实际上，人们已经给出了后来人们还从不同的角度推导出了“次优”整数系数微分器；2.Newton-Coster差分；3.Lanczos差分。 （多项式拟合）； 5. 最佳差值比较参数： 7.8 滤波器设计概述 IIR 滤波器 优点： 1. 通带和阻带衰减准确； 2. 计算量少；滤波 缺点：不具有线性相位，可能存在稳定性问题 FIR 滤波器的优点： 1.可以获得线性度。
18. 阶段； 2、无稳定性问题；缺点：滤波所需计算量少，FIR窗函数法，频率采样法，一致逼近法，简单平均，简单平滑，设计方法简单kaiyun.ccm，性能不够好，性能很好，简单，实用，性能不够好。 IIR 梳状滤波器。零极点消除滤波器。特殊目的。周期性。简单实用。快速地。生成窗函数的文件有八个： 1. bartlett（三角窗）； 2.2 .blackman（布莱克曼窗）； 3.3.boxcar（矩形窗）； 4.hamming（汉明窗）； 5.hanning（汉宁窗）； 6.triang（三角窗）； 7.chebwin（切比雪夫窗））； 8.kaiser（凯撒窗口）；两端为零，两端不为零。调用方法非常简单。请参阅帮助文件。稍微复杂一些 9fir1.m 使用“窗函数法”设计FIR
19.DF。调用格式：(1)b=fir1(N,Wn);(2)b=fir1(N,Wn,high);(3)b=fir1(N,Wn,stop);N：顺序云开·全站体育app登录，过滤器长度是N1； Wn：通带截止频率，其值在01、1之间，1对应Fs/2 b：滤波器系数。对于格式(1)，如果Wn是标量，则设计低通滤波器。如果Wn是12的向量，则用它来设计带通滤波器。如果Wn是1L的向量，则可以用来设计L带滤波器。此时，格式(1)应改为：b=fir1(N,Wn,DC-1)，或b=fir1(N,Wn,DC-0)。前者确保第一频带为通带，后者确保第一频带为阻带。格式(2)用于设计高通滤波器，格式(3)用于设计带阻滤波器。以上所有格式中，如果不指定窗函数
20. 对于类型，fir1 自动选择汉明窗。 10fir2.m 该文档采用“窗函数法”设计具有任意幅频响应的FIR数字滤波器。调用格式为：b=fir1(N,F,M); F是频率向量，其值在01之间，M是F对应的期望幅频响应。与fir1一样，默认情况下自动选择汉明窗。示例：设计一个多频段滤波器，要求频率在0.20.3到0.60.8之间为1，其余为0。设计结果如下：N=30,90时的幅频响应和理想幅频响应； N=30N=9011.remez.m 设计切比雪夫最佳一致逼近FIR滤波器、希尔伯特变换器和微分器。调用格式为：(1)b=remez(N,F,A);(2)b=re
21. mez(N,F,A,W);(3)b=remez(N,F,A,W,希尔伯特);(4)b=remez(N,F,A,W,微分器)N是给定滤波器阶数，b为设计滤波器的系数，其长度为N1； F为频率矢量，A为F对应的各频段上的理想幅频响应，W为各频段上的权重矢量。 。 F、A 和 W 的指定方式与示例 7.4.1 和 7.4.2 中讨论的方式相同。唯一的区别是F的范围是01到00.5，其中1对应采样频率的一半。需要指出的是，如果b的长度为偶数，则在设计高通和带阻滤波器时可能会出现错误。因此，最好保证b的长度为奇数，即N应该为偶数。例1：设计低通FIR DF:b=remez(N,F,A,W)F=(0,
22. 0.6,0.7,1)A=(1,0)W=(1,10)12remezord.m 该文件用于确定使用切比雪夫最佳一致近似设计 FIR 滤波器时所需的滤波器阶数。调用格式为：N,Fo,Ao,W=remezord(F,A,DEV,Fs)。 F和A的含义与文件remez相同，DEV是通带和阻带的偏差；输出为符合要求的滤波器阶数N、频率向量Fo、幅度向量Ao和加权向量W。如果设计者无法提前确定要设计的滤波器的阶数，那么在调用remezord之后，可以使用这组参数来调用remez，即b=remez(N,Fo,Ao,W)，从而设计所需的过滤器。因此，remez 和 remezord 经常一起使用。需要解释一下
23. 是的，remezord 给出的阶数 N 可能较低。这种情况下，适当增加N即可。另外，最好做一下判断。如果N是奇数，则加一使其成为偶数，这样b的长度就是奇数。 13.firls.m采用最小二乘法设计线性相位FIR滤波器，可以设计任意给定的理想幅频响应； 14.fircls.m 采用带约束的最小二乘法设计线性相位FIR滤波器，可以设计任意给定的理想幅频响应Fixed Ideal Amplitude-Frequency； 15.fircls1.m 使用约束最小二乘法设计线性相位FIR低通和高通滤波器。 16.sgolay.m 用于设计 Savitzky-Golay FIR 平滑滤波器。其原理参见9.1.1节。 17.firrcos.m用于设计低通线性相位FIR滤波器，其过渡带是余弦函数的形状。
